В треугольнике АВС известны стороны АВ=7 см, ВС=10 см и АС=12. Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке N. a) Докажите что BD:AE=85:114.
В треугольнике АВС известны стороны АВ=7 см, ВС=10 см и АС=12. Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке N. a) Докажите что BD:AE=85:114. б) Найдите отношение площадей треугольника ABN и ABC.
Доказательство:
a) Для доказательства того, что BD:AE=85:114, воспользуемся теоремой биссектрисы.
Известно, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально двум остальным сторонам треугольника. Таким образом, мы можем записать:
BD/AE = (BC/AC) * (sin(ABC)/sin(ACB))
где:
— BC — длина стороны BC,
— AC — длина стороны AC,
— ABC — угол при вершине B,
— ACB — угол при вершине C.
Подставим известные значения:
BD/AE = (10/12) * (sin(ABC)/sin(ACB))
BD/AE = (10/12) * (7/12) = 70/144 = 35/72
Поскольку BD/AE = 35/72, это не равно 85/114. Рассчитаем пропорцию между BD и AE:
BD/AE = (BC/AC) * (sin(ABC)/sin(ACB))
BD/AE = (10/12) * (7/12) = 70/144 = 35/72
Ответ: BD:AE = 35:72
b) Найдем отношение площадей треугольников ABN и ABC:
Отношение площадей треугольников ABN и ABC равно отношению произведений оснований на высоты.
Поскольку N — точка пересечения биссектрис, линия BN делит стороны АС и ВС пропорционально. Используем это свойство для нахождения отношения площадей:
S(ABN):S(ABC) = AN*BN:AC*BC
Найдем длину отрезков AN и BN, используя теорему биссектрис:
AN = (AC * AB) / (AC + AB) = (12 * 7) / (12 + 7) = 84 / 19
BN = (BC * AB) / (BC + AB) = (10 * 7) / (10 + 7) = 70 / 17
Теперь подставим найденные значения для нахождения отношения площадей:
S(ABN):S(ABC) = (84/19 * 70/17) : (12 * 10)
S(ABN):S(ABC) = (5880 / 323) : 120
S(ABN):S(ABC) = 5880 : 38760
S(ABN):S(ABC) = 1 : 6.58
Ответ: Отношение площадей треугольников ABN и ABC равно примерно 1:6.58