Две стороны треугольника равны 4 см и 6 см, а углы, лежащие против них ,относятся, как 1: 2. определить третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника, где две стороны равны 4 см и 6 см, а углы, лежащие против них, относятся как 1:2, можно воспользоваться следующими шагами.

1. Обозначим углы: Пусть угол, противостоящий стороне 4 см, равен x. Тогда угол, противостоящий стороне 6 см, будет равен 2x.

2. Сумма углов треугольника: Сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно, имеем:

x + 2x + угол C = 180°.

Это можно упростить до:

3x + угол C = 180°.

Таким образом, угол C можно выразить как:

угол C = 180° — 3x.

3. Используем закон синусов: По закону синусов:

a/sin A = b/sin B = c/sin C,

где a = 4 см, b = 6 см, а C — угол, противостоящий третьей стороне c.

Запишем для сторон 4 см и 6 см:

4/sin x = 6/sin 2x.

4. Используем формулы для синусов: Синус двойного угла можно выразить как:

sin 2x = 2 sin x cos x.

Подставим это в уравнение:

4/sin x = 6/(2 sin x cos x).

Упростим:

4 * 2 sin x cos x = 6 sin x.

Если sin x ≠ 0, то можно сократить:

8 cos x = 6.

Следовательно:

cos x = 6/8 = 3/4.

5. Найдем угол x: Теперь мы можем найти x:

x = cos⁻¹(3/4).

6. Находим угол 2x: Угол 2x соответственно будет равен:

2x = 2 * cos⁻¹(3/4).

7. Используем закон синусов для нахождения третьей стороны: Теперь можно найти сторону c:

c = 4 * sin(2x)/sin(x).

Используя формулу для sin(2x):

c = 4 * 2 sin x cos x / sin x = 8 cos x.

Подставляем cos x = 3/4:

c = 8 * (3/4) = 6 см.

Таким образом, третья сторона треугольника равна 6 см.