В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC биссектрисы AE и CD пересекаются в точке O. Докажите, что AO= CO.

Чтобы доказать, что AO = CO в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, где AE и CD — биссектрисы углов A и C, следуем следующим шагам:

1. Обозначим стороны. В равнобедренном треугольнике ABC имеем AB = AC, и пусть AE и CD являются биссектрисами углов A и C соответственно.

2. Свойства биссектрис. Биссектрисы углов делят противоположные стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
— Для биссектрисы AE: BE/EC = AB/AC = 1, поскольку AB = AC.
— Для биссектрисы CD: AD/DB = AC/AB = 1.

3. Заключение о точке O. Поскольку AE и CD являются биссектрисами равнобедренного треугольника, и стороны AB и AC равны, то отрезки BE и EC равны, а также AD и DB равны. Это означает, что точка O, в которой пересекаются биссектрисы, делит отрезки AC и AB пополам.

4. Равенство отрезков AO и CO. В результате, поскольку AE и CD делят свои стороны пополам, имеем AO = CO, поскольку отрезок AO будет равен отрезку CO.

Таким образом, мы доказали, что AO = CO в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC.