В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB=BC=5, медиана BM=4. Найдите cos∠BAC

В равнобедренном треугольнике ABC, где AB = BC = 5 и медиана BM = 4, можно найти косинус угла ∠BAC, используя свойства треугольников и теорему о медиане.

1. Пусть точка M — это середина отрезка AC. В треугольнике ABC медиана BM делит AC пополам, то есть AM = MC.

2. Обозначим длину отрезка AM как x. Тогда AC = 2x.

3. Применим теорему о медиане:
BM² = (AB² + BC²) / 2 — (AC² / 4)

Подставляем известные значения:
4² = (5² + 5²) / 2 — (2x)² / 4

Это сокращается до:
16 = (25 + 25) / 2 — x²

16 = 25 — x²

x² = 25 — 16 = 9

Таким образом, x = 3, тогда AC = 2x = 6.

4. Теперь найдем cos∠BAC, используя теорему косинусов:
AB² = AC² + BC² — 2 * AC * BC * cos(∠BAC)

Подставляем известные значения:
5² = 6² + 5² — 2 * 6 * 5 * cos(∠BAC)

Это сокращается до:
25 = 36 + 25 — 60 * cos(∠BAC)

25 = 61 — 60 * cos(∠BAC)

60 * cos(∠BAC) = 61 — 25

60 * cos(∠BAC) = 36

cos(∠BAC) = 36 / 60 = 3 / 5.

Ответ:
cos∠BAC = 3/5.